0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Примеры решения типовых задач

Примеры решения типовых задач

1. Записать множество Е, если , причем А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Решение.
есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е=<2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12>.

2. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е=<6, 12>.

3. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е=<2, 4, 8, 10>.

4. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е=<3, 6, 9, 12>.

5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
Выполняя действие в скобках получим:

После этого получаем АЕ т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

Теперь проиллюстрируем правую часть:

окончательный вид правой части:

Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

7. По диаграмме Венна записать формулу:

8. Доказать
Решение.

по закону да Моргана и закону дистрибутивности

9. Доказать, что , где А и В — множества.
Решение. — по определению операции разности.
Подставим выражение в формулу и вынесем А за скобки:

10. Доказать, что тогда и только тогда, когда иначе .
Решение. Пусть U — универсальное множество, тогда .
Покажем, что .
Пусть .
Покажем, что .
Пусть .
Отсюда следует, что .

Классификация задач и рекомендации по методам их решения

Задачи на динамику прямолинейного движения материальной точки, исходя из методики их решения, можно разбить на следующие основные типы.

1) Все силы , действующие на тело совпадают с прямой, вдоль которой направлен вектор ускорения. В этом случае уравнение второго закона Ньютона в векторном виде и решение в скалярной форме проводится с учетом направления сил.

2) Если действующие на тело силы разнонаправлены (а тем более некоторые из них не совпадают по направлению с , например, движение тела по наклонной плоскости):

· выбрать две произвольные оси ОХ и OY (для упрощения решения желательно одну из них направить вдоль вектора ускорения);

· спроецировать все действующие силы на оси ОХ и OY;

· записать второй закон Ньютона соответственно для осей ОХ:

· решить систему уравнений совместно (при необходимости дополнить соответствующими кинематическими уравнениями движения).

3) Движение нескольких сил, связанных невесомыми и нерастяжимыми нитями (движение нескольких тел по горизонтальной и наклонной плоскостях; задачи на блоки, через которые перекинута нить — веревка, канат, шнур и т.д.).

Читайте так же:
Как исправить ошибку «Internet Explorer перестал работать»

Основные закономерности при решении задач на блоки можно сформулировать следующим образом:

· блок считать невесомым (или его массой можно пренебречь);

· нити между телами считать невесомыми и нерастяжимыми;

· силы натяжения нити по обе стороны блока одинаковы;

· второй закон Ньютона записывать для каждого тела в отдельности (с учетом выбранного направления движения системы тел);

· если нить перекинута, например, через 2 невесомых блока (один — подвижный, второй — неподвижный), сила натяжения нити будет по всей длине одинакова, но ускорение грузов вследствие движения подвижного блока разные.

Примеры решения типовых задач

Аэростат массой m250 кг начал опускаться с ускорением 0,2м/с 2 . Определить массу балласта, который следует сбросить, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Ускорение свободного падения 9,8 м/с 2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение: Так как аэростат опускается с ускорением , меньшим ускорения свободного падения , и по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует, то это означает, что на него кроме силы тяжести действует подъемная сила , направленная вертикально вверх.

Действующие на аэростат силы направлены вертикально, следовательно, уравнение движения

достаточно спроецировать только на одну ось системы координат OY:

Откуда подъемная сила . (3)

Если сбросить балласт массой , то уравнение движения можно записать в виде

или с учетом полученного выражения для подъемной силы (3)

Следовательно, масса сброшенного балласта равна

Автомобиль, трогаясь с места, за время 5с равноускоренно набирает скорость 72 км/ч.

Найти минимально возможный коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой при таком движении.

Какой наименьший тормозной путь автомобиля, набравшего эту скорость?

Решение: При движении автомобиля, как при разгоне, так и при торможении, на него действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции со стороны дороги и сила трения

а) При ускоренном движении автомобиля сила трения препятствует проскальзыванию ведущих колес по поверхности дороги, поэтому, она направлена в сторону движения и является силой трения покоя. Именно сила трения покоя в данном случае будет являться движущей силой. Исходя из выбранной системы координат XOY, уравнение движения имеет вид

В проекциях на оси системы координат:

Выразив силу трения через силу реакции и коэффициент трения между колесами и дорогой

из уравнения движения определим ускорение автомобиля:

С другой стороны, так как по условию задачи автомобиль двигаясь равноускоренно за время приобрел скорость , то его ускорение равно . (6)

Из выражений (5) и (6) имеем 0,41. Следовательно,

б) При торможении сила трения направлена в сторону, противоположную движению и является силой трения скольжения. Уравнение движения автомобиля в этом случае в проекциях на оси координат

Учитывая, что , ускорение автомобиля при торможении

Путь, пройденный автомобилем, движущимся равнозамедленно с начальной скоростью равен

Читайте так же:
Как создать плакат в Фотошопе

Время движения до остановки можно определить из условия, что конечная скорость автомобиля

Учитывая выражения для коэффициента трения (7), получаем

На гладкой наклонной плоскости с углом при основании лежит доска массой М, а на доске — брусок массой m. На доску действует сила, направленная вверх по склону. При какой величине этой силы, груз начнёт соскальзывать? Коэффициент трения между доской и бруском . Ускорение свободного падения .

Решение: Силы, действующие на каждое из тел, в инерциальной системе отсчета XOY указаны на Рис.2.4.

На брусок действует сила тяжести , сила трения , сила и сила реакции ; на доску действует сила тяжести , сила реакции , сила трения и вес бруска равный по величине . Учтём, что

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат при условии, что брусок по доске не скользит:

Решая систему уравнений (2) и (3), получим .

Используем условие (1): .

Следовательно, при брусок будет соскальзывать с доски.

На наклонной плоскости с углом при основании неподвижно лежит кубик. Коэффициент трения между клином и кубиком равен . Наклонная плоскость движется с ускорением в направлении, показанном на рис. 2.5. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?

Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОY инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, считая, что кубик относительно клина покоится:

Так как кубик покоится относительно клина, то и связаны соотношением , т.е.

Следовательно, при кубик начнёт соскальзывать при ускорении клина, равном .

Если , то тело начнет соскальзывать при любом сколь угодно малом ускорении.

Примеры решения типовых задач

В данном параграфе рассмотрим решение типовых задач по теме «Методы анализа дифракционной картины. Получение структурных параметров исследуемого материала».

Определите индексы Миллера первых шести линий на рентгенограмме поликристалла алюминия А1, представленной на рис. 5.61.

Рентгенограмма поликристалла алюминия

Рис. 5.61. Рентгенограмма поликристалла алюминия

Алюминий имеет гранецентрированную кубическую решетку. Правило погасаний рефлексов выражается формулой (см. задачу 3.19)

Следовательно, на дебаеграмме будут наблюдаться рефлексы (111), (200), (220), (222), (311), (331), (333), (400).

Образец кремния имеет форму параллелепипеда с гранями (111), (110), (112), как показано на рис. 5.62, б.

К задаче 5.2

Рис. 5.62. К задаче 5.2

Винтовые прямолинейные дислокации располагаются в образце в плоскости скольжения (111) вдоль направления [011]. Определите, какое отражение необходимо использовать, чтобы на топограмме были видны эти дислокации наиболее контрастно. Какой при этом будет дифракционный угол на излучении МоКа1. Длина волны Хк = 0,70926 А, параметр элементарной ячейки кремния а = 5,4306 А.

Если винтовая дислокация располагается вдоль направления [011] в плоскости скольжения (111), наиболее контрастное ее изображение будет формироваться при отражении от плоскости (022), так как именно эта плоскость будет наиболее искажена упругим полем винтовой дислокации. Поэтому следует получить топограмму отражением от плоскости (022).

Читайте так же:
Удаление приложений с iPhone и телефона на Android

Дифракционный угол определяется по формуле Вульфа — Брэгга (3.32)

Отсюда дифракционный угол определяется соотношением

Подставив в выражение (5.25) значение межплоскостного расстояния (1.9),

индексы плоскости и параметр решетки а, получим значение sin0 и, следовательно, величину брэгговского угла

На рентгеновской топограмме кристалла с поверхностью (111), полученной по методу Ланга, наблюдаются прямолинейные дислокации. Они лежат в плоскости (111) вдоль направления [011]. Изображение гаснет при отражении от системы плоскостей (422). Определите тип этих дислокаций.

Общее правило рентгеновской топографии приведено на рис. 5.54.

Погасание контраста происходит в случае, если скалярное произведение вектора дифракции на вектор Бюргерса равно нулю (см. подпараграф 5.4.2.2):

Подставив в соотношение (5.26) координаты вектора дифракции: можно определить возможные координаты вектора Бюргерса:

Следовательно, возможный тип дислокаций — это винтовые дислокации (см. рис. 5.62, а).

Рассчитайте необходимую ширину щели коллиматора для выделения Кщ-линии в методе Ланга. Исследуемый кристалл — кремний; параметр элементарной ячейки кремния а = 5,4306 А; отражение (220); расстояние от источника до выходной щели коллиматора — 450 мм; источник точечный. Длины волн: = 0,70926 А; ХКа2 = 0,71354 А.

Ширина щели, формирующая пучок, определяет величину расходимости пучка, падающего на кристалл. Для того чтобы исследуемый кристалл отражал только одну длину волны А,к , необходимо, чтобы угловая ширина падающего на кристалл пучка была меньше углового интервала между отражениями А^а1 иХКа2

Запишем условия Брэгга (3.32) для этих длин волн:

Отсюда легко найти разницу между угловыми положениями 0J и 02:

Следовательно, угловая ширина щели линейная ширина щели

Определив значение тангенса утла Брэгга:

и подставив его в выражение линейной ширины щели (5.27), получим

Оцените пространственное разрешение на рентгеновской топо- грамме монокристалла кремния, снятой по методу Ланга. Излучение MoiCai (А, = 0,70926 А), расстояние от образца до фотопластинки / = 10 мм, размеры фокуса рентгеновского источника Аг = 30 мкм, расстояние от источника до щели L = 450 мм, используемое отражение (220), экстинкционная длина для кремния Л22о = 31,44 мкм.

Линейное разрешение в методе Ланга (см. подпараграф 5.4.2.2) складывается из трех факторов:

  • 1) дифракционное уширением рефлексов, определяемое величиной брэгговского угла рассеяния и экстинкционной длиной;
  • 2) геометрическое уширение, определяемое размерами фокального пятна рентгеновской трубки и геометрической схемой эксперимента;
  • 3) спектральное размытие изображения, связанное с шириной используемого спектра рентгеновского излучения.

Величина полного уширения точки на топограмме (разрешение) (см. формулу (5.20))

Подставив заданные в условиях задачи параметры, получим:

1) дифракционное уширение деталей изображения на топограмме

2) геометрическое уширение

3) спектральное уширение

Просуммировав три полученные компоненты, получим оценку линейного разрешения метода Ланга:

Какой контраст (экстинкционный или бормановский) будет наблюдаться на топограмме монокристалла кремния толщиной 900 мкм на отражении (220) на излучениях: МоКа и СиКа ? Соответствующие компоненты коэффициентов поляризуемости = 0,0162 и %0i = 0,351.

Читайте так же:
Word to PDF

Критерием для определения, является ли контраст бормановским или экстинкционным, является условие

В соответствии с теорией Максвелла в качестве коэффициента поглощения используют величину фотоэлектрического поглощения

Примеры решения типовых задач

Вычислите рН раствора азотной кислоты концентрации 0,001 моль/л.

Решение. При решении задачи воспользуемся уравнением: pH= -lg с(HB)

Подставляя известное по условию задачи значение концентрации в уравнение, вычислим: рН = — lg с(HNО3) = — lg0,001= 3

Анализ полученного ответа. Значение рН реально возможно, т.к. раствор азотной кислоты должен иметь кислую среду (рН < 7).

Пример 2 Расчет рН растворов сильных оснований

Вычислите рН раствора гидроксида калия с = 0,012 моль/л.

Решение. Для сильных однокислотных оснований pОH = — lg с(В), следовательно

рН = 14 — pОH = 14 + lg с(В) [5.6 ]

Подставляя в уравнение [5.6] известное по условию задачи значение концентрации раствора КОН, находим:

рН = 14 + lg 0,012 = 14,0 – 1,92 = 12,1

Анализ полученного ответа. Значение рН = 12,1 реально возможно, т.к. раствор КОН имеет щелочную среду рН > 7.

Пример 3 Расчет концентации ионов водорода по значению рН

Рассчитайте концентрацию протонов в слезной жидкости, рН = 7,4.

Решение. При решении задачи воспользуемся уравнением: рН = -lg с,

Отсюда: с = 10 -рН

Ответ: с = 10 -7,4 = 3,9 10 -8 моль/л.

Пример 4 Расчет рН раствора с учетом ионной силы.

Принимая во внимание ионную силу раствора, вычислите рН двух растворов, каждый из которых содержит в 0,5 л по 0,63 г азотной кислоты. Один из растворов содержит также 85 мг нитрата натрия.

Решение. Рассчитаем молярные концентрации электролитов по формуле:

с(Х) = m(Х)/M(Х)V

с(НNO3) = 0,63 г/63 (г/ моль)  0,5 л = 0,02 моль/л

с(NаNО3) = 0,085 г/ 85 (г/ моль)  0,5 л = 0,002 моль/л

Ионную силу раствора рассчитаем по формуле:

I = 0,5 [с(Н + )1 2 + с(NO3  ) (-1) 2 ]= c = 0,02

Вычислим суммарную концентрацию нитрат-иона:

с(NO3  ) = с(NаNО3) + с(НNО3)= 0,002 +0,02 = 0,022 моль/л

I = 0,5 [с(Н + )1 2 + с(NO3  ) (-1) 2 + с(Nа + )1 2 ]= c = 0,022

Для разбавленных растворов коэффициент активности рассчитаем по уравнению Дебая –Хюккеля:

lgf = -0,5z 2  I, а активность ионов по формуле: а = fс

Для раствора азотной кислоты: lgf = -0,510,02 = — 0,07071

Для раствора кислоты и ее соли: lgf = -0,50,022 = — 0,0742

Вычислим значение f и а, учитывая, что рН раствора кислоты и соли определяет только концентрация кислоты:

Для раствора кислоты f = 10 – 0,07071 = 0,12 ; а = 0,07071  0,02 = 0,0024

Для раствора кислоты и соли f = 10 – 0,0742 = 0,176; а = 0,176 0,02 = 0,00352

Рассчитаем рН раствора сильной кислоты:

рН = — lg а = 2,62

Читайте так же:
Импорт содержимого CSV-файла в Excel

Рассчитаем рН раствора кислоты и соли: рН = — lg а = 2,45

Пример 5 Расчет рН растворов слабых кислот

Вычислите рН раствора уксусной кислоты концентрации 0,04 моль/л.

Решение. Учитывая степень ионизации слабой кислоты, воспользуемся уравнением:

рН = 0,5(рКа — lg с(НВ)),

где рКа — показатель константы ионизации слабой кислоты (табличная величина;

табл. ) pKa = -lg Ka

Подставляя в уравнение [5.8] известное по условию задачи значение концентрации СН3СООН и определив по таблице ( ) рКа (СН3СООН) = 4,76, вычислим: рН = 0,5 (4,76 — lg 0,04) = 1,7

Анализ полученного ответа. Значение рН = 1,7 реально возможно, т.к. раствор уксусной кислоты имеет рН < 7.

Пример 6 Расчет рН растворов слабых оснований

Вычислите рН раствора аммиака с = 0,0025 моль/л.

Решение. Учитывая степень ионизации слабого основания, воспользуемся уравнением :

рН = 14 – 0,5(рКb — lg с(В)),

где рКв — показатель константы ионизации слабого основания (табличная величина; табл.). Величины рКа и рКb для протолитической пары связаны соотношением: рКа + рКb = 14.

Предварительно, определив рКb (NH3)= 14 — рКа (NН4 + )= 14 — 9,24 = 4,76,

подставим известное по условию задачи значение концентрации раствора аммиака в уравнение и вычислим рН:

рН = 14 – 0,5(4,76 — lg 0,0025) = 10,3

Анализ полученного ответа. Задача решена верно, т.к. рН раствора аммиака больше 7.

Пример 7 Расчет рН растворов протолитов, полученных смешением растворов одного и того же вещества

Смешали два раствора HCl: объемом 50 мл с концентрацией 0,2 моль/л и объемом 300 мл с концентрацией 0,02 моль/л. Вычислите рН полученного раствора.

Решение. Определим концентрацию полученного раствора:

Для сильной одноосновной кислоты (HCl): рН = — lg с(HB)

0,2 моль/л 0,05 л + 0,02 моль/л0,3л

рН = -lg 0,046 = 1,3

Анализ полученного ответа. Задача решена верно, т.к. рН полученного раствора меньше 7.

Пример 8 Расчет рН растворов протолитов, полученных смешением растворов разных веществ

Вычислите рН раствора, полученного смешением равных объемов растворов с(HCl)= 0,015 моль/л и с(NaOH) = 0,03 моль/л.

Решение. По условию задачи раствор кислоты прореагировал полностью. Следовательно, после протекания реакции нейтрализации среда полученного раствора будет щелочной.

Определим концентрацию NаОН после завершения реакции.

Для определения рН растворов сильных оснований воспользуемся уравнением.

HCl + NaOH  Na Cl + Н2О

Взято: 0,015V моль 0,0 3V моль

Осталось: 0,03V — 0,015V = 0,015V,

т.к. кислота и щелочь реагируют в соотношении 1 : 1.

Концентрация с(NaOH) после реакции = /V = 0,015V (моль) /2V(л) = 0,0075 моль/л

рН = 14+lg с = 14+lg 0,0075 = 11,9

Анализ полученного ответа: Задача решена верно, т.к. среда полученного раствора щелочная (11,97).

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector